$$\text{BACHELOR ARTS ET MÉTIERS PARISTECH}$$$$\text{Partiel de mathématiques}$$$$\text{2H}$$

Documents autorisés :

• une feuille recto-verso de notes personnelles
• le formulaire des développements limités usuels

Matrices

Soit la matrice suivante :

$$ V = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 0& 1 & 0\\ 1 & 3 & 2\end{pmatrix} $$

• Montrer qu'elle est inversible
• Calculer la matrice inverse $V^{-1}$
• Mettre sous forme matriciel ($VX=B$) le système d’équations suivant:

$$ \left\{\begin{array}{ccccc} x_1 &+ &2\,x_2 &+ &3\,x_3 &= 1\\ &&\hphantom{1\,}x_2 &&&= 1\\ x_1 &+ &3\,x_2 &+ &2\,x_3 &= 1\\ \end{array}\right. $$

• Resoudre le système en utilisant la propriété : $X = V^{-1}B$

Développements limités

1) Ecrire le développement limité en 0 à l’ordre indiqué entre parenthèses des fonctions suivantes :

• $f_1 : x \mapsto \ln\left(\dfrac{x^2+1}{x+1}\right)$ (4)

• $f_2 : x \mapsto e^x\,\ln(1+x)$ (3)

2)

• En utilisant les développements limités à l'ordre 3, trouver que :

$$\lim_{x \to 0}\dfrac{x^2\sin(x)}{x-\sin(x)} = 6$$

• Écrire une fonction python qui permettrait de vérifier ce résultat graphiquement

import matplotlib.pyplot as plt
from numpy import sin, linspace
%matplotlib inline
 
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    

3)

Dans le cas de la relativité restreinte, l'énergie cinétique $E_c$ d'une particule ou d'un corps est calculée à partir de la relation suivante :

$$E_c = mc^2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-1\right)\quad\quad \text{avec } (m, c^2)\text{ des constantes}$$

• Calculer le développement limité à l'ordre 2 de la formule de l'énergie cinétique pour une vitesse $v$ proche de 0
• Montrer qu'à l'ordre 1 on a : $E_c = mv^2/2$

Incertitudes

On souhaite calculer la période de révolution d’un satellite autour de la terre à l’aide de l’équation ci-dessous. On prendra le rayon de la terre $r = 6378\pm 10$ km, la masse de la terre $m = 5,9736\times10^{24} \text{ kg}\pm 1\%$, la hauteur du satellite $h = 35786\pm 1000$ km et la constante de gravitation universelle $G = 6,67\times10^{−11}$ N.m$^{2}$.kg$^{-2}$

$$T = 2\pi\sqrt{\dfrac{d^3}{Gm}}\quad\quad\text{avec}\quad d = r+h$$

Déterminer pour un niveau de confiance de $95\%$ la mesure $T = T_m \pm \Delta T_m$

Intégration

calculer l'intégrale suivante

$\displaystyle\int_{0}^\frac{1}{2} \sqrt{1-x^2}dx$

Formulaire Développements limités usuels

Tous les développement limités de cette section sont au voisinage de 0. Pour les obtenir, il suffit de calculer les dérivées successives et d’utiliser la formule de Taylor-Young.

• $\displaystyle\frac{1}{1-x}=1+x+x^2+\dots+x^n+o(x^n)$

• $\displaystyle\exp(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\dots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

• $\displaystyle\cosh(x)=1+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}+\dots+\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

• $\displaystyle\sinh(x)=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\dots+\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$

• $\displaystyle\cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\dots+(-1)^{n}\frac{x^{2n}}{(2n)!}+o(x^{2n+1})$

• $\displaystyle\sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\dots+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+o(x^{2n+2})$

• Si $n\geq 1$:
  • $\displaystyle\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\dots+(-1)^{n+1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

• Si $n\geq 1$:
  • $ \begin{array}[t]{ll} \ln(1-x)&=-x-\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}-\dots-\dfrac{x^n}{n}+o(x^n)=-(x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+\dots+ \dfrac{x^n}{n})+o(x^n)\\ &\\ \end{array} $

• $\displaystyle\forall a\in\mathbb{R},~(1+x)^{a}=1+a x+\frac{a(a-1)}{2!}~x^2+\dots+\frac{a(a-1)\dots(a-n+1)}{n!}~x^n+O(x^{n+1}).$