Exercice 1 :

$$c_m = \lambda_m \times f_0 = 8,630\times 10^{-3} \times 40\times 10^3$$
In [28]:
cm = 8.630e-3 * 40e3
print("cm = " + str(cm) + " m/s")

cm = 345.2 m/s

On cherche l'incertitude type $u(cm)$ qui s'exprime comme le produit de deux grandeurs, on peut écrire :

$$\frac{u(c_m)}{c_m} = \sqrt{\left(\frac{u(\lambda_m)}{\lambda_m}\right)^2 + \left(\frac{u(f_0)}{f_0}\right)^2}$$

Avec un intervalle de confiance à 95% : $u(\lambda_m) = \dfrac{\Delta\lambda_m}{2}\quad$ et $\quad u(f_0) = \dfrac{\Delta f_0}{2}$

Donc

$$u(c_m) = c_m \sqrt{\left(\frac{\Delta(\lambda_m)}{2\lambda_m}\right)^2 + \left(\frac{\Delta(f_0)}{2f_0}\right)^2}$$
In [32]:
import math
u_cm = cm * math.sqrt((0.009/8.63)**2 + (0.025/40)**2)
print("u_cm = " + str(u_cm) + " m/s")

u_cm = 0.419699967239 m/s

Avec un intervalle de confiance à 95% : $\Delta c_m = 2\,u(c_m)$ donc :

$$c = 345,2 \pm 0.8\,\text{m/s}$$

Exercice 2 :

$$q = \frac{x-y}{x+y} \quad\quad (1)$$

Si nous appliquons la relation vue en cours à la relation précédente que l'on peut exprimer sous la forme :

$$ q = f(x, y)\quad\quad \text{avec les mesures $x$ et $y$ indépendantes}$$

On obtient :

$$u^2(q) = \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}u(x)\right)^2 + \left(\dfrac{\partial f}{\partial x}u(y)\right)^2$$

Il nous faut maintenant exprimer la dérivée partielle pour chaque variable :

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{2y}{(x+y)^2}$$



$$\dfrac{\partial f}{\partial y} = -\dfrac{2x}{(x+y)^2}$$

Il n'y a plus qu'à écrire notre incertitude type sur $q$:

$$u^2(q) = \left(\dfrac{2y}{(x+y)^2}\right)^2u^2(x) + \left(-\dfrac{2x}{(x+y)^2}\right)^2u^2(y)$$



$$u(q) = \dfrac{2}{(x+y)^2} \sqrt{y^2 u^2(y) + x^2 u^2(x)}\quad\quad (2)$$

D'après (1) on peut écrire

$$q=\dfrac{x-y}{x+y}\quad\text{donc}\quad q=\dfrac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2}\quad\text{donc}\quad \dfrac{1}{(x+y)^2} = \dfrac{q}{(x+y)(x-y)} $$



En remplaçant dans (2) on obtient :

$$u(q) = \dfrac{2q}{x^2-y^2}\sqrt{x^2u^2(x) + y^2u^2(y)}$$

Exercice 3 :

In [1]:
mesures = [538.2, 554.3, 545.7, 552.3, 566.4, 537.9, 549.2, 540.3]
def moyenne(mesures):
    somme = 0
    for elt in mesures:
        somme += elt
    return somme/len(mesures)

print("moyenne =",moyenne(mesures))

from math import sqrt
def ecart_type(mesures):
    m = moyenne(mesures)
    somme = 0
    for elt in mesures:
        somme += (elt-m)**2
    return sqrt((1./(len(mesures)-1))*somme)

print("ecart_type =", ecart_type(mesures))

def incertitude_type(Et, n):
    return Et/sqrt(n)


deltaLambda = 2.37*incertitude_type(ecart_type(mesures), len(mesures))
print("deltaLambda",deltaLambda)

('moyenne =', 548.0375)
('ecart_type =', 9.715957051601823)
('deltaLambda', 8.14120965353231)

Exercice 4 :

In [4]:
from sympy import *
init_printing(use_unicode=True) #affichage à la LaTeX
x = Symbol("x")
  • $h_1 : x \mapsto \ln(1 + \sqrt{2\sin(x)+1})$

$h_1$ est définie et dérivable sur $\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}=\left] -\dfrac{\pi}{6}+2k\pi\, ;\, \dfrac{7\pi}{6} + 2k\pi \right[$

In [20]:
h1 = log(1+sqrt(2*sin(x)+1))

La dérivée de $h_1$

In [21]:
diff(h1)
Out[21]:
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sqrt{2 \sin{\left (x \right )} + 1} + 1\right) \sqrt{2 \sin{\left (x \right )} + 1}}$$
In [22]:
simplify(diff(h1))
Out[22]:
$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sqrt{2 \sin{\left (x \right )} + 1} + 2 \sin{\left (x \right )} + 1}$$
  • $h_2 : x \mapsto sin\left[ln\left(\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}+3}\right)\right]$

$h_2$ est définie et dérivable sur $\mathbb{R}$

In [23]:
h2 = sin(log((exp(2*x)+1)/(exp(2*x)+3)))

La dérivée de $h_2$

In [24]:
diff(h2)
Out[24]:
$$\frac{1}{e^{2 x} + 1} \left(- \frac{2 \left(e^{2 x} + 1\right) e^{2 x}}{\left(e^{2 x} + 3\right)^{2}} + \frac{2 e^{2 x}}{e^{2 x} + 3}\right) \left(e^{2 x} + 3\right) \cos{\left (\log{\left (\frac{e^{2 x} + 1}{e^{2 x} + 3} \right )} \right )}$$
In [25]:
simplify(diff(h2))
Out[25]:
$$\frac{4 e^{2 x} \cos{\left (\log{\left (\frac{e^{2 x} + 1}{e^{2 x} + 3} \right )} \right )}}{\left(e^{2 x} + 1\right) \left(e^{2 x} + 3\right)}$$