Il sera tenu compte dans la note du soin apporté à la rédaction de vos raisonnements

Exercice 1 :

La mesure de la longueur d’onde λ d’une onde ultrasonore fournit le résultat :

$$\lambda_m = 8,630 \pm 0,018\,\text{mm}$$

La valeur de la célérité de l’onde est donnée par : $$c = \lambda\times f$$ $c$ (m/s), $\lambda$ (m) et $f$ (Hz)

La notice de l'émetteur ultrasonore qui à permis de faire la mesure affiche :

$$f_0 = 40 \pm 0,050\,\text{kHz}$$

Déterminer pour un niveau de confiance de $95\%$ la mesure $c = c_m \pm \Delta c_m$

Exercice 2 :

La mesure d'une grandeur $q$ se fait à l'aide de deux autres mesures indépendantes $q = f(x, y)$ tel que:

$$q = \frac{x-y}{x+y}$$

On rappelle que

Si $Y = f(X_1, \dots, X_n)$ avec $X_1,\dots ,X_n$ indépendantes alors :

$$u^2(Y) = \sum_{i=1}^{n}\left(\left(\dfrac{\partial f}{\partial x_i}\right)^2u^2(x_i)\right)$$

Déterminer l'incertitude type $u(q)$

Exercice 3:

Huit étudiants mesurent la longueur d’onde de la raie verte du mercure en utilisant une fente fine éclairée par la lampe, une lentille et un réseau. Ils obtiennent les résultats suivants :

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Étudiants} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\\hline \lambda (nm) & 538,2 & 554,3 & 545,7 & 552,3 & 566,4 & 537,9 & 549,2 & 540,3\\\hline \end{array}

1. Déterminez la valeur moyenne $\overline{\lambda}$
2. Calculez l'écart-type $\sigma$ de $\lambda$
3. Avec une confiance de 95%, quelle est l'incertitude $\Delta\lambda$ ?

On rappelle que :

$$\sigma_{exp}(X) = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}$$

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline n & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 \\\hline t(n, 95\%) & 4,30 & 3, 18 & 2, 78 & 2, 57 & 2, 45 & 2,37 & 2,31 & 2,26 & 2,23 & 2,20 \\\hline t(n, 99\%) & 9, 93 & 5, 84 & 4, 60 & 4, 03 & 3, 71 & 3,50 & 3,36 & 3,25 & 3,17 & 3,11 \\\hline \end{array}

Exercice 4 :

Donner le domaine de dérivabilité ainsi que la dérivée des fonctions suivantes :

• $h_1 : x \mapsto \ln(1 + 2\sqrt{2\sin(x)+1})$

• $h_2 : x \mapsto sin\left[ln\left(\dfrac{e^{2x}+1}{e^{2x}+3}\right)\right]$