$$\text{BACHELOR ARTS ET MÉTIERS PARIS TECH}$$$$\text{Devoir de mathématiques}$$$$\text{2H}$$

Exercice 1 :

On suppose qu’une population $x$ de lapins et une population $y$ de loups sont gouvernées par le système suivant d’équations différentielles :

$$ \begin{cases} x' &= &\phantom{-}3x &- &4y\\ y' &= &-6x &+ &y \end{cases} $$
  1. Mettre le système sous forme matricielle
  2. Résoudre le système avec la variable d'intégration $t\in\mathbb{R}$
  3. Discuter l’évolution de la population des lapins en fonction des conditions initiales.

Exercice 2 :

$$\text{Soit}\quad M = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 3\\ -2 & 11 & -2\\ 8 & -7 & 6\end{pmatrix}$$
  1. Montrer que le polynôme caractéristique de la matrice $M$ est $P(\lambda) = -\lambda^3 + 18\lambda^2 - 51\lambda - 182$
  2. Une valeur propre de $M$ est $\lambda = -2$, le polynôme caractéristique peut donc se mettre sous la forme $P(\lambda) = -(\lambda + 2)(a\lambda^2 + b\lambda + c)$
    Déterminer les réels $a, b, c$
  3. Déterminer un vecteur propre noté $\vec{u_1}$ associé à $\lambda_1$
  4. Déterminer deux vecteurs propres linéairement indépendants notés $\vec{u_2}$ et $\vec{u_3}$ associés aux valeurs propres $\lambda_2$ et $\lambda_3$
  5. Donner les matrices $P$ et $D$ associées à la diagonalisation de $M$
  6. Vérifier que $M.P = P.D$

Exercice 3 :

$$\text{Soit}\quad A = \begin{pmatrix} 1 & 2\\ 3 & -4\end{pmatrix}$$

Sachant que $A^k = P^{-1}D^kP$

Calculer $A^{100}$

Dichotomie

Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $I=[-4, 4]$ par $\ f(x)=x^3-6x+1$

In [5]:
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def f(x):
    return x**3-6*x+1

x = np.linspace(-4, 4, 300)
y = f(x)
plt.grid()
plt.plot(x, y)
plt.show()

L'objectif est de déterminer numériquement les zéros de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$.

  1. Quelles sont les conditions nécessaires sur la fonction $f$ pour utiliser la méthode de la dichotomie sur l'intervalle $[0, 1]$ ?
  2. Avec une précision $p = 0.1$, calculer les valeurs des bornes des différents intervalles renvoyées par l'algorithme de dichotomie. Les calculs devront être présentés clairement. Vous pouvez éventuellement vous aider du graphe ci-dessous.
In [7]:
x = np.linspace(0,1, 100)
y = f(x)
plt.figure(figsize=(10,10))
plt.xticks(np.arange(min(x), max(x)+1, 0.1))
plt.yticks(np.arange(min(y), max(y)+1, 0.5))
plt.grid()
plt.plot(x, y)
plt.show()