import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from random import random
%matplotlib inline
Suites numériques¶
Dans ce chapitre, $\mathbb{K}$ designe le corps $\mathbb{R}$ des nombres reels, ou le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes
Généralités¶
Ou trouve-t-on les suites?¶
- Approximation des nombres reels tels que : $\pi$, $\sqrt{2}$, ou pour la recherche de nombres définis comme solution d'une équation. En exemples on pourra citer la dichotomie ou la méthode de Newton avec la relation de récurrence suivante : $x_{n+1} = x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$
- Description du comportement de phénomènes dont l'état, à un moment donné, est représenté par un nombre réel, par exemple pour l'étude de la démographie.
Suites d'un ensemble quelconque¶
Définition
Une suite à valeurs dans $\mathbb{K}$ est une famille d'éléments de $\mathbb{K}$ indexée par l'ensemble $\mathbb{N}$ des entiers naturels.
La suite $u$ est notée $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ ou $(u_n)_{n\geq 0}$ ou plus simplement $(u_n)$
On note $u_n$ le terme d'indice $n$ (ou terme général) de la suite $u$ et $u_0$ le terme initial.
La donnée d'une suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ équivaut à la donnée d'une application:
Remarques :
- La donnée d'une suite complexe $(z_n)_{n\geq 0}$ équivaut à la donnée de deux suites réelles $(u_n)_{n\geq 0}$ et $(v_n)_{n\geq 0}$ définies par $\forall n\in \mathbb{N},\, z_n = u_n + iv_n$
- Comme pour toute application ne pas confondre la suite $u$ ou $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ qui ne dépend pas de $n$ et le nombre réel $u_n$ qui dépend de $n$
Exemples une suite peut-être définie de plusieurs façons
- Par une formule explicite :
- $\forall n\in\mathbb{N},\,u_n = (-1)^{n+1}n^2$
- on note $u$ la suite de terme général : $(-1)^{n+1}n^2$
- on considère la suite ($(-1)^{n+1}n^2)_{n\in\mathbb{N}}$
- Par une récurrence : $u_0 = 1$ et, pour tout $n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = 3u_n-1$
Exercice :
La suite de syracuse est un exemple de suite définie par récurrence
L'algorithme :
- On part d’un nombre entier plus grand que zéro
- s’il est pair, on le divise par 2
- s’il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1.
- En répétant l’opération, on obtient une suite d’entiers positifs dont chacun ne dépend que de son prédécesseur. Cette suite finit par atteindre la valeur 1
- Comment peut-on écrire mathématiquement la définition de cette suite ?
- Écrire une fonction Python pour obtenir l'ensemble des termes de la suite de Syracuse jusqu'à la première occurence de la valeur 1.
Suites périodiques, stationnaires¶
- On dit qu'une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est constante si il existe un élément $a$ tel que $\forall\, n \in \mathbb{N},\,u_n=a$
- On dit qu'une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est stationnaire si il existe un élément $a$ et un entier $n_0$ tel que $\forall\, n \geq n_0,\,u_n=a$
- On dit qu'une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est p-périodique si il existe un entier $p > 0$ tel que $\forall\, n\in \mathbb{N},\, u_{n+p} = u_n$
Le plus petit $p$ de $\mathbb{N}^*$ est appelé la période de la suite $u$
Soit la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ définie par $$ \begin{cases} u_0 &=1\\ u_{n+1} &=\dfrac{u_n-1}{3u_n+1}\\ \end{cases} $$
- Calculer les 5 premiers termes de la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$, qu'observe-t-on ?
- Montrer que $\forall n\in \mathbb{N}$ on a $u_{n+3} = u_{n}$
- Écrire un programme Python permettant de vérifier le 2.
Suites majorées, minorées, bornées¶
Définition (liée à la relation d'ordre)
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres réels.
- La suite $u$ est majorée s'il existe $M\in \mathbb{R}$ tel que, $\forall n\in\mathbb{N},\, u_n\leq M$
- La suite $u$ est minorée s'il existe $m\in \mathbb{R}$ tel que, $\forall n\in\mathbb{N},\, u_n\geq m$
- La suite $u$ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée, cela revient aussi à dire qu'elle est majorée en valeur absolue
Suites réelles monotones¶
Définition
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres réels.
- La suite $u$ est croissante si, $\forall n \in\mathbb{N}$, on a : $u_n \leq u_{n+1}$
- La suite $u$ est décroissante si, $\forall n \in\mathbb{N}$, on a : $u_{n+1} \leq u_n$
- La suite $u$ est monotone si elle est croissante ou décroissante
Exercices
Étudier la monotonie des suites suivantes :
$\left(\dfrac{1}{1+n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$ $\quad ((-1)^n)_{n\in\mathbb{N}}$
Définition
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres réels.
- La suite $u$ est strictement croissante si, $\forall n \in\mathbb{N}$, on a : $u_n < u_{n+1}$
- La suite $u$ est strictement décroissante si, $\forall n \in\mathbb{N}$, on a : $u_{n+1} < u_n$
- La suite $u$ est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante
Limite d'une suite réelle¶
Définition
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres réels.
- La suite $u$ tend vers $+\infty$ si : $\forall A\in\mathbb{R},\, \exists N\in\mathbb{N},\, n\geq N$ alors $u_n \geq A$
- La suite $u$ tend vers $-\infty$ si : $\forall A\in\mathbb{R},\, \exists N\in\mathbb{N},\, n\geq N$ alors $u_n \leq A$
- Soit $\ell\in\mathbb{R}$
La suite $u$ tend vers $\ell$ si : $\forall \epsilon > 0,\, \exists N\in\mathbb{N}, n\geq N$ alors $|u_n-\ell| \leq \epsilon$
Concrètement, cela signifie que quel que soit l’intervalle qu’on choisit autour de $\ell$, aussi petit soit-il, on a $u_n$ dans cet intervalle pour $n$ assez grand.
Suites convergentes ou divergentes¶
Définition
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite de nombres réels.
- La suite $u$ est convergente si elle admet une limite finie, c'est à dire une limite $\ell$ dans $\mathbb{R}$.
- Dans le cas contraire (pas de limite ou s'il est tend vers $\pm\infty$) on dit qu'elle est divergente
- Une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ convergente est bornée
Limite des suites monotones¶
Propriétés
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite croissante de nombres réels.
Si cette suite est majorée, alors elle est convergente.
Si au contraire elle n'est pas majorée, alors $\lim u_n = +\infty$
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite décroissante de nombres réels.
Si cette suite est minorée, alors elle est convergente.
Si au contraire elle n'est pas majorée, alors $\lim u_n = -\infty$
Limite et suites extraites¶
Propriétés
Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ de nombres réels. La suite $u$ pour limite $\ell$ si et seulement si $\lim u_{2n} = \ell$ et $\lim u_{2n+1} = \ell$
Étudier la convergence de la suite $u$ dont le terme général est : $u_n=(-1)^n$
Opérations sur les limites¶
Propriétés
Soient $\ell_1$ et $\ell_2$ dans $\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}$. Soient $u$ et $v$ deux suites telles que $\lim u=\ell_1$ et $\lim v=\ell_2$.
- Le tableau suivant attribue une valeur à $\ell_1+\ell_2$ sauf dans le cas des formes indéterminées $(FI)$.
On a alors, si $\ell_1+\ell_2$ n'est pas une forme indéterminée: $\lim (u+v)=\ell_1+\ell_2$.
- Le tableau suivant attribue une valeur à $\ell_1\ell_2$ sauf dans le cas des formes indéterminées $(FI)$.
On a alors, si $\ell_1\ell_2$ n'est pas une forme indéterminée: $\lim uv=\ell_1\ell_2$.
- Si lim $u_n=\ell$ avec $\ell\in \mathbb{R}^*$, il existe un entier à partir duquel $u_n\neq0$. On a alors lim $\dfrac{1}{u_n}= \dfrac{1}{\ell}$
- Si lim $u_n = 0$ et si les $u_n$ sont strictements positifs, alors lim $\dfrac{1}{u_n} = +\infty$
- Si lim $u_n = 0$ et si les $u_n$ sont strictements négatifs, alors lim $\dfrac{1}{u_n} = -\infty$
- Si lim $u_n = +\infty$ ou lim lim $u_n = -\infty$ alors lim $\dfrac{1}{u_n} = 0$
Dans le cas des formes indéterminées, il n'y a aucune conclusion possible en général. Il faudra transformer l'expression de $u_n$ (on dit lever l'indétermination) pour savoir si la suite possède ou non une limite et la calculer.
- Observer les exemples suivants, qui sont tous de la forme $u_n+v_n$ où $\lim u=+\infty$ et $\lim v=-\infty$ :
$n^2-n$, $n-n^2$, $n^2-n^2$, $(n+(-1)^n)-n$.
- Observer les exemples suivants, qui sont tous de la forme $u_nv_n$ où $\lim u=+\infty$ et $\lim v=0$ :
$n\times\frac{1}{n}$, $n\times\frac{1}{n^2}$, $n^2\times\frac{1}{n}$, $n\times\frac{(-1)^n}{n}$.
Formes indéterminées
Pour le calcul de lim $\dfrac{u_n}{v_n}$ on ne pas pas conclure dans les cas suivants :
- lim $u_n = 0$ et lim $v_n = 0$
- lim $u_n = \pm\infty$ et lim $v_n = \pm\infty$
Il existe également trois formes indéterminées pour $u_n^{v_n}$
- lim $u_n = 1$ et lim $v_n = \pm\infty$
- lim $u_n = +\infty$ et lim $v_n = 0$
- lim $u_n = 0^+$ et lim $v_n = 0$
Convergence par encadrement¶
Propriétés
Principe des gendarmes : Soient $(u_n)_{n\geq 0}$, $(v_n)_{n\geq 0}$ et $(w_n)_{n\geq 0}$ trois suites réelles.
On suppose que lim $u_n = $ lim $v_n = \ell$ avec $\ell\in\mathbb{R}$
S'il existe un entier $n_0$ tel que $u_n\leq w_n\leq v_n$ pour tout $n>n_0$ alors lim $w_n = \ell$
Exercices
Etudier la convergence (et déterminer si possible la limite) des suites suivantes dont on donne le terme général :
(1) $\quad u_n = 1 + \dfrac{(-1)^n}{n}\quad$ (2) $\quad u_n = (-1)^n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)\quad$ (3) $\quad u_n = \dfrac{\sin(n)}{n}\quad$ (4) $\quad u_n = \dfrac{n+\sin(n)}{n^2}\quad$
(5) $\quad u_n=\dfrac{a^n -b^n}{a^n+b^n}\quad a\in \mathbb{R}_+^*$ et $b\in \mathbb{R}_+^*\quad$ (6) $\quad u_n = \sqrt{n^2 + 2n + 3} - \sqrt{n^2 + 2n + 1}\quad$ (7) $\quad u_n = \dfrac{n^n}{n!}\quad$
Suites particulières¶
Suites du type : $u_{n+1} = f(u_n)$¶
Soit $f$ une fonction réelle. Soit $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite récurrente d'ordre $1$, c'est-à-dire une suite définie par la donnée de $u_0$ et par la relation de récurrence: $$\forall n\in\mathbb{N},~u_{n+1}=f(u_n).$$
Intervalle stable : définition¶
Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$. On dit que $I$ est stable par $f$ si $I$ est inclus dans $\mathcal{D}_f$ et si $f(I)\subset I$, c'est-à-dire si $f(x)\in I$ pour tout $x\in I$.
Méthode
On commence par étudier $f$ (variations,...) pour déterminer un intervalle $I$ stable par $f$ et contenant $u_0$. Ceci montre que la suite $u$ est bien définie et que $u_n\in I$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.
On essaiera de choisir l'intervalle $I$ le plus petit possible. Par exemple, si l'intervalle $I$ est borné, on pourra en déduire que la suite $u$ est bornée (puisque tous les $u_n$ sont dans $I$). Parfois, l'intervalle $I$ ne contient pas $u_0$ mais il contient $u_1$ (ou $u_2$...). Ceci garantit que la suite est bien définie mais que $u_n\in I$ seulement pour tout $n\geq 1$ (ou $n\geq 2$...).
Exercice
Soit $u_0\in[-1;+\infty[$. Soit $u$ la suite définie par: $$\forall n\in\mathbb{N},~u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}.$$ Démontrer que la suite $u$ est bien définie.
Utilisation d'un graphique¶
def f(x):
return -(x - 0.5)**2 + 0.25
# la fonction tirée de la suite récurrente
x = np.linspace(0, 1, 1000)
y = f(x)
# f(x) = x
bissect = np.linspace(0, 1, 1000)
plt.plot(x, y, '-')
plt.plot(bissect, bissect, 'r-')
plt.show()
Monotonie : propriété¶
- Si $f$ est croissante sur $I$, alors $u$ est monotone. Pour connaître le sens de variation de $u$, il suffit de comparer $u_0$ et $u_1$.
| $u_1 < u_0$ | $u_1 > u_0$ |
|---|---|
 |
 |
- Si $f$ est décroissante sur $I$, alors la suite $u$ n'est pas monotone en revanche les suites $(u_{2n})_{n\in\mathbb{N}}$ et $(u_{2n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ sont monotones de sens de variation opposés.
| $(u_n)_{n\geq 0}$ converge | $(u_n)_{n\geq 0}$ ne converge pas |
|---|---|
 |
 |
Exercices
- Étudier la suite $(u_n)_{n\geq 0}$ définie par $u_0>0$ et par $\forall n\in \mathbb{N}$, $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$
- La suite logistique est une suite définie par récurrence à l'aide de la fonction suivante :
Soit $t\in \mathbb{R}$ et $\mathcal{D}$ une partie de $\mathbb{R}$
$$\begin{array}{clcl} f:& \mathcal{D}& \longrightarrow & \mathbb{R}\\ &x & \longmapsto & tx\,(1-x) \end{array}$$C’est dans l'étude de la démographie que l’on rencontre pour la première fois la fonction logistique $f$: à l’origine il s’agit d’un modèle d’évolution d’une population naturelle (d’où le nom de logistique), proposé par le mathématicien belge Pierre-François Verhulst
- Écrire la relation de récurrence $u_{n+1} = f(u_n)$ permettant de définir la suite logistique $(u_n)_{n\geq0}$
- Montrer que si $u_0 \in ]0,1[$ et $t\in [0, 4]$ alors la suite $u$ est bornée.
- Calculer $u_{3}$ avec $u_0 = 0,5$ et $t=1$
- Écrire une fonction Python $suiteLogistique(u0, t, n)$ qui prend en paramètres le terme initial de la suite $(u_n)_{n\geq0}$, la valeur de $t$ ainsi qu'un entier $n\geq0$ et qui renvoie le terme de rang $n$ de la suite logistique
- Écrire une fonction $valeursSuiteLogistique(u0, t, n)$ qui renvoie une liste de l'ensemble des valeurs de la suite $(u_n)_{n\geq0}$ puis déterminer expérimentalement la limite de la suite pour $t=2.5$ Cette limite dépend-elle de $u_0$ ?
- Écrire une fonction $suitesLogistiques(u0, t, n)$ qui prend en paramètres deux listes de même taille représentant un ensemble de valeurs intiales pour $u0$ et $t$ et qui renvoie l'ensemble des listes dont les valeurs sont calculées par $suiteLogistique$ pour un $u0$ et $t$ de même rang.
- Définir une liste $t$ qui discrétise uniformément l'intervalle $[0, 4]$ avec $10^5$ valeurs.
- Définir une liste $u0$ de nombres aléaoires uniformément répartis dans $[0, 1]$ avec $10^5$ valeurs.
- À l'aide de la fonction $suitesLogistiques$, tracer le graphique du nuage de points $(t(i), u(i))$. On prendra $n=1000$. L'appel de la fonction $plot$ se fera de la manière suivante : $$plt.plot(\text{t, u, 'b.', ms=.5})$$
- Trouver à l'aide du graphqiue une valeur de $t$ ayant 3 points d'accumulation.
Pour en savoir un peu plus : des suites numériques vraiment très particulières¶
Suites arithmétiques¶
Définition
Une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est dite arithmétique s'il existe un scalaire $r$ tel que : $u_{n+1} = u_n + r$
$r$ est appelé raison de la suite arithmétique, pour tout $n$ de $\mathbb{N}$, on a : $u_n=u_0+nr$
Propriétés
- Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite arithmétique de nombres réels et de raison $r$. Si $r>0$ (resp $r<0$) la suite $u$ est strictement croissante (resp. strictement décroissante)
- Une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est arithmétique si : $\forall n\in\mathbb{N},\, u_n + u_{n+2} = 2u_{n+1}$
- La somme $S$ des $n$ termes consécutifs d'une suite arithmétique est donnée par :
Suites géométriques¶
Définition
Une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est géométrique s'il existe un scalaire $q$ tel que : $\forall n\in\mathbb{N},\, u_{n+1} = q\,u_n$
$q$ est appelé raison de la suite géométrique et $\forall n\in\mathbb{N},\, u_n = q^n\,u_0$
Propriétés
- Soit $S$ la somme des $n$ termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q\neq 1$
Soit $u_0$ le premier terme de cette suite alors $S = u_0\,\dfrac{q^n-1}{q-1}$
- Une suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est géométrique si $\forall n\in\mathbb{N}\, :\, u_n\,u_{n+2} = u_{n+1}^2$
- Soit $(u_n)_{n\geq 0}$ une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0=0$
La suite $(u_n)_{n\geq 0}$ est convergente si $q=1$ ou $|q|<1$
Si $q=1$ la suite u est constante et si $|q|<1$, la suite converge vers 0
import time
print time.strftime("Version du "+'%d/%m/%y %H:%M',time.localtime())
Christophe Casseau mail : isncaju@gmail.com